(1)当t=1时,MB=1,NB=1,AM=4-1=3,
∵PM ∥ BN
∴△ANB ∽ △APM,
∴
PM
NB =
AM
AB ,
∴ PM=
3
4 .
(2)当t=2时,使△PNB ∽ △PAD,
∴
NB
AD =
PN
PA ,
∵
PN
PA =
BM
AM ,
∴
NB
AD =
BM
AM 这样就可以求出t,
相似比为2:3.
(3)∵PM⊥AB,CB⊥AB,∠AMP=∠ABC,△AMP ∽ △ABN,
∴
PM
BN =
AM
AB 即
PM
t =
a-t
a ,∵ PM=
t(a-t)
a ,
∵PQ=3-
t(a-t)
a ,
当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,
即
(QP+AD)DQ
2 =
(MP+BN)BM
2 =
(3-
t(a-t)
a +3)(a-t)
2 =
(
t
a (a-t)+t)t
2 ,
化简得 t=
6a
6+a ,
∵t≤3,
∴
6a
6+a ≤3 ,则a≤6,
∴3<a≤6.
(4)∵3<a≤6时,梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可,则CN=PM,
∴
t
a (a-t)=3-t,
两边同时乘以a,得at-t 2=3a-at,
整理,得t 2-2at+3a=0,
把 t=
6a
6+a 代入,整理得9a 3-108a=0,
∵a≠0,∴9a 2-108=0,
∴a=±2
3 ,
所以a=2
3 .
所以,存在a,
当a=2
3 时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等.