Question

（2014•镇江二模）如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，An（n∈N*，n≥2），在每一个点上分别标上1，

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得，又a₁=2，可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，再由a₃的值求出a₄的值．

（2）猜想，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

（1）计算得：a₂=6，a₃=6，a₄=18．

（2）猜想a_n=2ⁿ+2（-1）ⁿ．

证明：①当n=2时，a₂=6，猜想成立．

②假设当n=k时，猜想成立，即a_k=2^k+2（-1）^k．

则当n=k+1时，因为A₁有3种标法，A₂有2种标法，A₃有2种标法，…A_k有2种标法，若A_k+1仅与A_k不同则有2标法

一种与A₁数不相同，符合要求，有A_k+1种；

一种与A₁数相同，不符合要求，但是相当于k个点的标法总数，有A_k种，

则有：3×2^k=a_k+1+a_k．∴a_k+1=-a_k+3×2^k=-2^k-2（-1）^k+3×2^k=2^k+1+2（-1）^k．

即n=k+1时，猜想也成立．

由①②可知，猜想成立．

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．