解题思路:根据在△ABC内作一扇形,使扇形半径都在△ABC的边上,扇形的弧与△ABC的其他边相切应分三种情况:
(1)以2个顶点A、B为圆心,做扇形,半径分别为AC和BC的长;
(2)以顶点C为圆心,做扇形,半径为斜边上的高;
(3)分别以三个内角平分线与对边交点为圆心,做三个扇形,求其半径.
∵∠C=90°,BC=3,AC=4,
∴AB=5,AB上的高为
1
2×3×4
1
2×5=[12/5].
(1)以A点为圆心,以4为半径作扇形,扇形与BC边相切,符合题意;
(2)以点B为圆心,以3为半径作扇形,扇形与AC边相切,符合题意;
(3)以点C为圆心,以斜边上的高[12/5]为半径作扇形,扇形与AB边相切,符合题意;
(4)过点A作∠A的平分线交BC于点E,以CE的长为半径作扇形,扇形与AC和AB边相切,
∵tan∠BCA=tan2∠CAE=[3/4],
∴tan∠CAE=[1/3],
∴半径AE=tan∠CAE×AC=[4/3],故以半径[4/3]作扇形,符合题意;
(5)过点C作∠C的平分线交AB于点F,以EF的长为半径作扇形,扇形与AC和BC边相切,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ACB.
∴[AE/AC]=[EF/BC]即[4-CE/4]=[EF/3].
∵EF=EC,
∴EF=[12/7].
故以半径[12/7]作扇形,符合题意;
(6)过点B作∠B的平分线交AC于点O,以OC的长为半径作扇形,扇形与BC和AB边相切,
∵tan∠ABC=tan2∠OBC=[4/3],
∴tan∠OBC=[1/2].
半径OC=tan∠OBC×BC=[3/2],故以半径[3/2]作扇形,符合题意;
则符合条件的扇形的半径为3,4,[12/5],[4/3],[12/7],[3/2].
点评:
本题考点: 直线与圆的位置关系;勾股定理.
考点点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,在解题过程中应注意一题多解的情况,防止漏解或错解.