△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,如图,现在△ABC内作一扇形,使扇形半径都在△ABC的边上,扇形的弧与△A

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  • 解题思路:根据在△ABC内作一扇形,使扇形半径都在△ABC的边上,扇形的弧与△ABC的其他边相切应分三种情况:

    (1)以2个顶点A、B为圆心,做扇形,半径分别为AC和BC的长;

    (2)以顶点C为圆心,做扇形,半径为斜边上的高;

    (3)分别以三个内角平分线与对边交点为圆心,做三个扇形,求其半径.

    ∵∠C=90°,BC=3,AC=4,

    ∴AB=5,AB上的高为

    1

    2×3×4

    1

    2×5=[12/5].

    (1)以A点为圆心,以4为半径作扇形,扇形与BC边相切,符合题意;

    (2)以点B为圆心,以3为半径作扇形,扇形与AC边相切,符合题意;

    (3)以点C为圆心,以斜边上的高[12/5]为半径作扇形,扇形与AB边相切,符合题意;

    (4)过点A作∠A的平分线交BC于点E,以CE的长为半径作扇形,扇形与AC和AB边相切,

    ∵tan∠BCA=tan2∠CAE=[3/4],

    ∴tan∠CAE=[1/3],

    ∴半径AE=tan∠CAE×AC=[4/3],故以半径[4/3]作扇形,符合题意;

    (5)过点C作∠C的平分线交AB于点F,以EF的长为半径作扇形,扇形与AC和BC边相切,

    ∵EF∥BC,

    ∴△AEF∽△ACB.

    ∴[AE/AC]=[EF/BC]即[4-CE/4]=[EF/3].

    ∵EF=EC,

    ∴EF=[12/7].

    故以半径[12/7]作扇形,符合题意;

    (6)过点B作∠B的平分线交AC于点O,以OC的长为半径作扇形,扇形与BC和AB边相切,

    ∵tan∠ABC=tan2∠OBC=[4/3],

    ∴tan∠OBC=[1/2].

    半径OC=tan∠OBC×BC=[3/2],故以半径[3/2]作扇形,符合题意;

    则符合条件的扇形的半径为3,4,[12/5],[4/3],[12/7],[3/2].

    点评:

    本题考点: 直线与圆的位置关系;勾股定理.

    考点点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系,在解题过程中应注意一题多解的情况,防止漏解或错解.