已知,如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边BC在x轴上,直角顶点A在y轴的正半轴上,A(0,2),B(-1,0)

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  • ⑴OA=2,OB=1,

    易得:RTΔOAB∽RTΔOCA,∴OA/OC=OB/OA,∴OC=4,C(4,0),

    ⑵抛物线过C、B可设为y=a(x-4)(x+1),又过(0,2)得:2=a*(-4),a=-1/2,

    ∴解析式为:y=-1/2(X^2-3X-4)=-1/2(X-3/2)^2+25/8,对称轴:X=3/2;

    ⑶直线AC解析式为:Y=-1/2X+2,过P作PQ⊥X轴于Q,交AC于D,

    则D(m,-1/2m+2),又P(m,-1/2m^2+3/4m+2),

    ∴DP=-1/2m^2+2m,

    ∴SΔPAC=SΔPDA+SΔPDC=1/2DP(AQ+CQ)=-m^2+4m=-(m-2)^2+4,

    ∴当m=2时,S最大=4;此时P(2,3/2);

    ⑷CQ=2,PQ=3/2,∴PA=5/2,设对称轴交X轴于E,

    QE=3/2,

    ①当PM=PC=5/2时,√(PM^2-QE^2)=√6,

    ∴M(3/2,3/2±√6),

    ②当CP=CM=5/2时,∵EM=OC-OE=5/2,

    ∴M(3/2,0)

    ③MC=MP,设CP中点为R,设M(3/2,K),

    ∴K^2+(5/2)^2=(1/2)^2+(3/2-K)^2,K=-5/4,

    M(3/2,-5/4),

    综上所述,满足条件的M的四个点:

    M1(3/2,3/2+√6),M2(3/2,3/2-√6),

    M3(3/2,-5/4),M4(3/2,0).