Question

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），a∈R．

Answer 1

解题思路：（I）利用函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则得到f'（x）≥0恒成立．

（Ⅱ）当a=1时，求函数的导数，利用这两点为切点的切线互相垂直，得到两点的导数值之积为-1，然后求解切点坐标．

（I）要使函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．

函数的导数为f'（x）=a-[a+1/x+1]=[ax+a−a−1/x+1＝

ax−1

x+1]，由f'（x）≥0得[ax−1/x+1≥0，因为x≥2，所以ax-1≥0，

ax≥1，即a≥

1

x]即可．因为函数y=[1/x]在[2，+∞）上为单调递减函数，所以y≤

1

2，所以要使a≥

1

x恒成立，则有a≥

1

2．

即满足条件的实数a的取值范围[[1/2，+∞）．

（Ⅱ）若a=1，则f（x）=x-2ln（x+1），f′(x)＝1−

2

x+1＝

x−1

x+1]．，设这两个切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），

f′（x1）f′（x2）=

x1−1

x1+1⋅

x2−1

x2+1＝−1，整理得x₁x₂=-1，即x2＝−

1

x1．

因为两切点的横坐标均在区间[-[1/2]，2]上．所以−

1

2≤x1≤2，−

1

2≤x2≤2，即−

1

2≤−

1

x1≤2．

①若x₁＞0，则由不等式−

1

2≤−

1

x1≤2解得x₁≥2，所以此时x₁=2，x2＝−

1

2．

②若x₁＜0，则由不等式−

1

2≤−

1

x1

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求切点坐标，运算量较大，比较综合．