Question

已知椭圆C:x^2/8+y^2/4=1的焦点为F1,F2,P为椭圆C上一点,Q(1,0).是否存在以Q(1,0)为圆心的

Answer 1

分析：若过P点的椭圆的法线经过Q点,则存在以Q为圆心的圆与PF1、PF2均相切.

设P（x0,y0）,a=2√2,b=2,c=√(8-4)=2,e=c/a=1/√2,F1（-2,0）,F2（2,0）,|PF1|=a+e*x0,|PF2|=a-e*x0,|F1Q|=c+1=3,|QF2|=c-1=2

由光学几何知识：椭圆上一点的法线平分该点与焦点连线所夹的角,则

|PF1|/|PF2|=|F1Q|/|QF2|,（a+e*x0）/（a-e*x0）=3/2,

（2√2 +1/√2*x0）/（2√2 - 1/√2 *x0）=3/2

解得：x0=4/5

代入椭圆方程得：y0=±2/5*√23

所以,P点坐标为(4/5,2/5*√23)和(4/5,-2/5*√23)