Question

用解析法证明直径所对的圆周角是直角．

Answer 1

解题思路：要证PA与PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把两个斜率相乘得到乘积为-1，所以以AB所在的直线为x轴，圆心为坐标原点建立平面直角坐标系，则得到A、B的坐标，设P（x，y），表示出PA与PB的斜率相乘，把P坐标代入圆的方程化简可得乘积为-1即可得证．

证明：将圆的直径AB所在的直线取为X轴，圆心作为原点，不妨设定圆的半径为1，于是圆的方程是x²+y²=1．

A、B的坐标是A（-1，0）、B（1，0）．

设P（x，y）是圆上任一点，则有y²=1-x²．

∵PA的斜率为k1=

y

x+1，PB的斜率为k2=

y

x-1，

∴k1k2=

y2

x2-1=

1-x2

x2-1=-1

∴PA⊥PB，∠APB为直角．

点评：

本题考点： 两条直线垂直的判定．

考点点评： 此题为一道证明题，要求学生掌握两直线垂直的条件为斜率乘积为-1，会利用解析的方法证明数学问题．