Question

已知函数f(x)=(1-x)/ax+lnx,若g(x)=f(x)-x/4在[1,e]上单调递增,求正实数a的范围?

Answer 1

f(x)=[(1－x)/(ax)]＋lnx,则f'(x)=－(1/ax²)＋(1/x),则：

g'(x)=－(1/ax²)＋(1/x)－(1/4)=[－(1/a)](1/x)²＋(1/x)－(1/4)

则g'(x)在区间[1,e]上必须满足：g'(x)≥0,即：

－(1/a)[1/x)²＋(1/x)－(1/4)≥0

－(1/a)≥(1/4)x²－x对x在[1,e]上的任意x恒成立,则：

－(1/a)只要大于等于【(1/4)x²－x】在区间[1,e]上的最大值即可.

M=(1/4)x²－x=(1/4)[x－2]²－1,则M在区间[1,e]上的最大值是M(x=1)=－3/4,所以,

－(1/a)≥－3/4

1/a≤3/4

4/(3a)≤1

(3a－4)/(3a)≥0

得：a≥4/3或a