Question

已知抛物线y=x2+2px+2p-2的顶点为M，

Answer 1

解题思路：（1）先判断出△的符号即可得出结论；

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=-（p-1）²-1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．

（1）∵△=4p²-8p+8=4（p-1）²+4＞0，

∴抛物线与x轴必有两个不同交点．

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），

则|AB|²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²-8p+8=4（p-1）²+4，

∴|AB|=2

(p−1)2+1．

又设顶点M（a，b），由y=（x+p）²-（p-1）²-1．

得b=-（p-1）²-1．

当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S_△ABM=[1/2]|AB||b|取最小值1．

点评：

本题考点： 抛物线与x轴的交点．

考点点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．