Question

已知函数f(x)=x^3-x设a＞0,如果过点（a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明：-a＜b＜f(a)

Answer 1

假设切点横坐标是m,则切线斜率是3*m^2-1

从而切线方程是：y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m)

化简得：y+2m^3=(3m^2-1)x

经过（a,b）,所以有：2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0

由于过（a,b）可作三条切线,因此关于m的方程:

2m^3-3a(m^2)+(a+b)=0

必须有3个解,考虑三次函数g(m)=2m^3-3a(m^2)+(a+b),求导讨论极值点g'(m)=6m(m-a),在m=0处极大值,m＝a>0处极小值,

显然g（＋∞）＝＋∞,g（－∞）＝－∞,g(m)＝0有三个解必须有

g(0)>0,g(a)0,-a^3+a+