Question

P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为（　　）

Answer 1

解题思路：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S_PAOB=2S_△PAO=

2×

1

2

PA•AO＝2PA

的最小值，转化为求PA最小值，由于PA²=PO²-4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求．

由圆x²+y²=4，得到圆心（0，0），半径r=2，

由题意可得：PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB，

∴S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2PA•AO=2PA，

在Rt△PAO中，由勾股定理可得：PA²=PO²-r²=PO²-4，

当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，

点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，

当PO⊥l时，PO有最小值d=

10

5=2

5，PA=4，

所求四边形PAOB的面积的最小值为8．

故选C

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．根据题意得出PO⊥l时所求圆的面积最小是解本题的关键．