（1）AD′=BC′,∠APB=∠α．
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
∴OC′=OD′=OC=OD,
∵∠C′OD′=∠COD,∠AOB=∠COD,
∴∠AOB=∠C′OD′,
∴∠BOC′=∠AOD′,
在△BOC′和∠AOD′中,
OB=OA ∠BOC′=∠AOD′ OC′=OD′
∴△BOC′≌△AOD′（SAS）,
有AD′=BC′,∠BC′O=∠AD′O,
∵∠APB=∠C′PD′=180°-∠BC′O-OC′D′-∠PD′C′,∠DOC=∠D′OC′=180°-∠OC′D′-∠PD′C′-∠AD′O,
∴∠APB=∠DOC=∠α；
（2）AD′=BC′仍然成立,∠APB=∠α不一定成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵OC′=OC,OD′=OD,
∴OA=OC′,OB=OD′,
∵∠C′OD′=∠COD,∠AOB=∠COD,
∴∠AOB=∠C′OD′,
∴∠BOC′=∠D′OA,
在△AOD′和△C′OB中,
OD′=OB ∠AOD′=∠C′OB OA=OC′
∴△AOD′≌△C′OB（SAS）,
∴AD′=BC′；
但是∠APB=∠α不一定成立．
（3）∠APB=180°-∠α．
证明：如图3,设OC′,PD′交于点E．
∵将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D′OC′,
∴△DOC≌△D′OC′,
∴OD=OD′,OC=OC′,∠DOC=∠D′OC′．
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,AB=CD,∠ABC=∠DCB．
∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB．
∴∠DBC=∠ACB．
∴OB=OC,OA=OD．
∵∠AOB=∠COD=∠C′O D′,
∴∠BOC′=∠D′O A．
∵OD′=OA,OC′=OB,∠BOC′=∠D′O A
∴△D′OC′≌△AOB,
∴∠OD′C′=∠OAB．
∵OD′=OA,OC′=OB,∠BOC′=∠D′O A,
∴∠OD′A=∠OAD′=∠OBC′=∠OC′B．
∵∠C′EP=∠D′EO,
∴∠C′PE=∠C′OD′=∠COD=∠α．
∵∠C′PE+∠APB=180°,
∴∠APB=180°-∠α．