解题思路:(I)求出函数在x=1处的值,求出导函数,求出导函数在x=1处的值即切线的斜率,利用点斜式求出切线的方程.
(II)求出函数的导函数,令导函数大于等于0恒成立,构造函数,求出二次函数的对称轴,求出二次函数的最小值,令最小值大于等于0,求出p的范围.
(III)通过g(x)的单调性,求出g(x)的最小值,通过对p的讨论,求出f(x)的最大值,令最大值大于等于g(x)的最小值求出p的范围.
(I)当p=2时,函数f(x)=2x-
2
x-2lnx,f(1)=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+
2
x2-
2
x,
曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=2+2-2=2.
从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)
即y=2x-2.
(II)f′(x)=p+
p
x2-
2
x=
px2-2x+p
x2.
令h(x)=px2-2x+p,
要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.
由题意p>0,h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=
1
p∈(0,+∞),
∴h(x)min=p-
1
p,只需p-
1
p≥0,
即p≥1时,h(x)≥0,f'(x)≥0
∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).
(III)∵g(x)=
2e
x在[1,e]上是减函数,
∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,
即g(x)∈[2,2e],
当p<0时,h(x)=px2-2x+p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴x=
1
p在y轴的左侧,且h(0)<0,
所以f(x)在x∈[1,e]内是减函数.
当p=0时,h(x)=-2x,因为x∈[1,e],所以h(x)<0,
f′(x)=-
2x
x2<0,此时,f(x)在x∈[1,e]内是减函数.
∴当p≤0时,f(x)在[1,e]上单调递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意;
当0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x-
1
x≥0,所以f(x)=p(x-
1
x)-2lnx≤x-
1
x-2lnx.
又由(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,
∴x-
1
x-2lnx≤e-
1
e-2lne=e-
1
e-2<2,不合题意;
当p≥1时,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是减函数,
故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而f(x)max=f(e)=p(e-
1
e)-2lne,g(x)min=2,即p(e-
1
e)-2lne>2,解得p>
4e
e2-1
综上所述,实数p的取值范围是(
4e
e2-1,+∞).
点评:
本题考点: A:导数在最大值、最小值问题中的应用 B:函数的单调性与导数的关系 C:利用导数研究曲线上某点切线方程
考点点评: 解决曲线的切线问题,常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程;解决函数单调性已知求参数范围问题,常令导函数大于等于0(小于等于0)恒成立,求出参数的范围.