已知函数f(x)=px-px-2lnx.

2个回答

  • 解题思路:(I)求出函数在x=1处的值,求出导函数,求出导函数在x=1处的值即切线的斜率,利用点斜式求出切线的方程.

    (II)求出函数的导函数,令导函数大于等于0恒成立,构造函数,求出二次函数的对称轴,求出二次函数的最小值,令最小值大于等于0,求出p的范围.

    (III)通过g(x)的单调性,求出g(x)的最小值,通过对p的讨论,求出f(x)的最大值,令最大值大于等于g(x)的最小值求出p的范围.

    (I)当p=2时,函数f(x)=2x-

    2

    x-2lnx,f(1)=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

    2

    x2-

    2

    x,

    曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=2+2-2=2.

    从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=2(x-1)

    即y=2x-2.

    (II)f′(x)=p+

    p

    x2-

    2

    x=

    px2-2x+p

    x2.

    令h(x)=px2-2x+p,

    要使f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,只需h(x)≥0在(0,+∞)内恒成立.

    由题意p>0,h(x)=px2-2x+p的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=

    1

    p∈(0,+∞),

    ∴h(x)min=p-

    1

    p,只需p-

    1

    p≥0,

    即p≥1时,h(x)≥0,f'(x)≥0

    ∴f(x)在(0,+∞)内为增函数,正实数p的取值范围是[1,+∞).

    (III)∵g(x)=

    2e

    x在[1,e]上是减函数,

    ∴x=e时,g(x)min=2;x=1时,g(x)max=2e,

    即g(x)∈[2,2e],

    当p<0时,h(x)=px2-2x+p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴x=

    1

    p在y轴的左侧,且h(0)<0,

    所以f(x)在x∈[1,e]内是减函数.

    当p=0时,h(x)=-2x,因为x∈[1,e],所以h(x)<0,

    f′(x)=-

    2x

    x2<0,此时,f(x)在x∈[1,e]内是减函数.

    ∴当p≤0时,f(x)在[1,e]上单调递减⇒f(x)max=f(1)=0<2,不合题意;

    当0<p<1时,由x∈[1,e]⇒x-

    1

    x≥0,所以f(x)=p(x-

    1

    x)-2lnx≤x-

    1

    x-2lnx.

    又由(2)知当p=1时,f(x)在[1,e]上是增函数,

    ∴x-

    1

    x-2lnx≤e-

    1

    e-2lne=e-

    1

    e-2<2,不合题意;

    当p≥1时,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函数,f(1)=0<2,又g(x)在[1,e]上是减函数,

    故只需f(x)max>g(x)min,x∈[1,e],而f(x)max=f(e)=p(e-

    1

    e)-2lne,g(x)min=2,即p(e-

    1

    e)-2lne>2,解得p>

    4e

    e2-1

    综上所述,实数p的取值范围是(

    4e

    e2-1,+∞).

    点评:

    本题考点: A:导数在最大值、最小值问题中的应用 B:函数的单调性与导数的关系 C:利用导数研究曲线上某点切线方程

    考点点评: 解决曲线的切线问题,常利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切线方程;解决函数单调性已知求参数范围问题,常令导函数大于等于0(小于等于0)恒成立,求出参数的范围.