Question

已知函数f（x）=x+[1/x]+a2，g（x）=x3-a3+2a+1，若存在ξ1、ξ2∈[[1/a，a

Answer 1

解题思路：存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，等价于存在x∈[1a，a]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9，求出相应函数的最值，得到不等式，即可求出a的取值范围

存在ξ₁、ξ₂∈[

1

a，a]（a＞1），使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤9，等价于存在x∈[

1

a，a]（a＞1），使得|f（x）_min-g（x）_max|≤9

∵函数f（x）=x+

1

x]+a²，ξ₁∈[[1/a，a]（a＞1），∴f（x）=x+

1

x]+a²≥2+a²，即f（x）_min=2+a²；

∵g（x）=x³-a³+2a+1，∴g′（x）=3x²，∴函数g（x）在[

1

a，a]（a＞1）上单调递增，

∴g（x）_max=g（a）=2a+1

∴|2+a²-2a-1|≤9

∴-3≤a-1≤3

∴-2≤a≤4

∵a＞1，∴1＜a≤4．

故答案为：（1，4]．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，将存在ξ1、ξ2∈[1a，a]（a＞1），使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤9，转化为存在x∈[1a，a]（a＞1），使得|f（x）min-g（x）max|≤9是解题的关键．