把向量外积定义为：
a × b = |a|·|b|·Sin.
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证.有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明.
下面给出代数方法.我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a × b = - b × a.
这由外积的定义是显然的.
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·(b + c) = a·b + a·c,
(a + b)·c = a·c + b·c.
这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos,用投影的方法不难得到证明.
3）混合积的性质：
定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积,容易证明：
i) (a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正,左手系为负）.
从而就推出：
ii) (a×b)·c = a·(b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).
由i)还可以推出：
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3,则a必为零矢量.
下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律.
设r为空间任意矢量,在r·(a×(b + c))里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b + c)
= (r×a)·b + (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b + a×c)
移项,再利用数积分配律,得
r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0
这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量.按3)的iv),这个矢量必为零矢量,即
a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0
所以有
a×(b + c) = a×b + a×c.
证毕.
参考资料：《空间解析几何引论》（第二版）,南开大学《空间解析几何引论》编写组