Question

设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足Sn2-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N*．

Answer 1

（1）令n=1得：

S21-(-1)S1-3×2=0，即

S21+S1-6=0．

∴（S₁+3）（S₁-2）=0．

∵S₁＞0，∴S₁=2，即a₁=2．

（2）由

S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0得：

(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0．

∵a_n＞0（n∈N^*），

∴S_n＞0．

∴Sn=n2+n．

∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，

又∵a₁=2=2×1，

∴an=2n(n∈N*)．

（3）当k∈N^*时，∵k(k+

1

2)=k2+

1

2k＞k2+

1

2k-

3

16=(k-

1

4)(k+

3

4)，

∴[1

ak(ak+1)=

1

2k(2k+1)=

1/4•

1

k(k+

1

2)＜

1

4•

1

(k-

1

4)(k+

3

4)]

=

1

4[

1

k-

1

4-

1

(k+1)-

1

4]．

∴

1

a1(a1+1)+

1

a2(a