f(x)=[(2009^(x+1)+2010)/(2009^x+1) ]+sinx
设g(x)= (2009^(x+1)+2010)/(2009^x+1)
则g(x)= (2009^(x+1)+2009+1)/(2009^x+1)
=2009+1/(2009^x+1),
因为2009^x是R上的增函数,所以g(x)是R上的减函数.
函数g(x)在[-a,a]上的最大值是g(-a),最小值是g(a).
函数sinx是奇函数,它在[-a,a]上的最大值与最小值互为相反数,
最大值与最小值的和为0.
所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N= g(a) +g(-a)
=[2009+1/(2009^a+1)]+ [2009+1/(2009^(-a)+1)]
=4018+[1/(2009^a+1)+1/(2009^(-a)+1)]……中括号内第二项分子分母同乘以2009^a
=4018+[1/(2009^a+1)+2009^a /(1+2009^a)]
=4018+(1+2009^a) /(1+2009^a)
=4018+1=4019.