已知a>0,设函数f(x)=(2009^(x+1)+2010/2009^x+1)+sinx,(x∈[-a,a])的最大值

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  • f(x)=[(2009^(x+1)+2010)/(2009^x+1) ]+sinx

    设g(x)= (2009^(x+1)+2010)/(2009^x+1)

    则g(x)= (2009^(x+1)+2009+1)/(2009^x+1)

    =2009+1/(2009^x+1),

    因为2009^x是R上的增函数,所以g(x)是R上的减函数.

    函数g(x)在[-a,a]上的最大值是g(-a),最小值是g(a).

    函数sinx是奇函数,它在[-a,a]上的最大值与最小值互为相反数,

    最大值与最小值的和为0.

    所以函数f(x)的最大值M与最小值N之和M+N= g(a) +g(-a)

    =[2009+1/(2009^a+1)]+ [2009+1/(2009^(-a)+1)]

    =4018+[1/(2009^a+1)+1/(2009^(-a)+1)]……中括号内第二项分子分母同乘以2009^a

    =4018+[1/(2009^a+1)+2009^a /(1+2009^a)]

    =4018+(1+2009^a) /(1+2009^a)

    =4018+1=4019.