已知二次函数y=f(x)对任意x属于R满足f(x-1)=f(-x),且图像经过点(-2,1)及坐标原点.

1个回答

  • 由于:二次函数f(x)对任意x∈R

    满足f(x-1)=f(-x),

    则:对称轴为:x=[(x-1)-x]/2=-1/2

    则:设f(x)=a(x+1/2)^2+c

    又:图像经过点(-2,1)和原点

    则:将点(0,0)和(-2,1)代入,得:

    a=1/2,c=-1/8

    则:函数解析式

    为:f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

    由于:Sn=f(n)

    则有:

    Sn=(1/2)[n^2+n]

    S(n-1)=(1/2)[(n-1)^2+(n-1)]

    两式相减,得:

    an=n (n>=2)

    又:n=1时,S1=(1/2)(1^2+1]=1

    则;an=n

    由于:bn=1/an

    则:bn=1/n

    则:Tn=1+1/2+1/3+...+1/n

    则:Tn为调和级数

    其近似和为:ln(n+1)+r

    欧拉常数r约为0.577218

    由于:

    T1+T2+...+Tn-1=(Tn -1)g(n)

    对于一切不小于2的自然数n恒成立

    则有:

    (ln2+r)+(ln3+r)+...+(lnn+r)=[ln(n+1)+r-1]g(n)

    ln(2*3*4*...*n)+nr=[ln(n+1)+r-1]g(n)

    g(n)=[ln(n!)+nr]/[ln(n+1)+r-1]

    显然g(n)不为整式

    故:不存在关于n的整式g(n)满足题中条件