设n阶方阵A≠0,但对某个正整数k,有Ak=0.证明:

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  • 解题思路:(1)首先,由Ak=0,利用矩阵特征值和特征向量的定义,求出A的特征值;然后求出A+E的特征值;最后,根据方阵行列式等于其所有特征值的乘积,得到|A+E|.(2)由(1)求出的A的特征值,只需证明出A不可能有n个线性无关的特征向量即可.

    证明:(1)设α是任一A的特征向量,λ是的α对应的特征值,则Aα=λα

    ∴由Ak=0,得λkα=0,

    而α≠0,

    ∴λ=0

    即A的特征值只有0(n重)

    ∴A+E的特征值全为1(n重)

    ∴|A+E|=1

    (2)由(1)知A的特征值只有0

    而齐次线性方程组-Ax=0的系数矩阵A≠0

    ∴0<r(-A)≤n

    ∴-Ax=0的基础解系所含解向量的个数n-r(A)<n

    即A的线性无关的特征向量小于n个

    ∴A不可能与对角矩阵相似

    点评:

    本题考点: 矩阵可相似对角化的充分必要条件.

    考点点评: 此题考查特征值和特征向量的求法以及矩阵相似对角化的充要条件,再加上齐次线性方程组解的判定定理,是基础知识点的综合.