【这蝴蝶定理有一个基本的条件,就是你图中OM⊥PQ】证明：推广2作DG//PQ,交⊙O于G,连接PG、MG、FG.∵OM⊥PQ,DG//PQ∴OM垂直平分DG（垂径定理）∴DM=GM【S】∴∠MDG=∠MGD=∠DMP=∠GMQ（后面两个角根据平行内错角相等）则∠DMQ=∠GMP【A】（等角的补角相等）∵∠MDG=∠PFG（同弧所对的圆周角相等）∴∠GMQ=∠PFG∴F、P、M、G四点共圆（外角等于内对角,四点共圆）∴∠PFM=∠PGM∵∠PFM=∠MDQ∴∠PGM=∠MDQ【A】∴△PGM≌△QDM（ASA）∴MP=MQ
推广1
过点F作FG//PQ ,交⊙O于G,连接MG、DG、QG.∵OM⊥PQ,FG//PQ∴OM垂直平分FG（垂径定理）∴MF=MG【S】∴∠MGF=∠MFG=∠PMF=∠QMG【A】（后面两个角根据平行内错角相等得出）∵∠MFG=∠QDG（同弧所对的圆周角相等）∴∠QMG=∠QDG∴G、Q、D、M四点共圆∴∠QGM+∠EDC=180°∵∠PFM+∠EFC=180° ∠EDC=∠EFC∴∠QGM=∠PFM【A】∴△PFM≌△QGM（ASA）∴MP=MQ