Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，且在x=1时取得极小值-[2/3]．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数是奇函数，得出ac的值，在求出函数的导数，根据在x=1处的有极值得出在x=1处的导数为0，求出b的值

（2）球出导数判断函数的极值，以及在端点处的端点值，比较极值和端点值大小，确定函数的最值，根据函数两最值之差最大证明f（x₁）-f（x₂）≤[4/3]

（1）可知b=d=0，（2分）

所以f′（x）=3ax²+c

可知

f′1＝0

f1＝−

2

3⇒

3a+c＝0

a+c＝−

2

3⇒

a＝

1

3

c＝−1，

经检验知：f（x）=[1/3]x³-x（4分）

（2）即证f（x）_max-f（x）_min≤[4/3]（6分）

因为f′（x）=x²-1，所以x∈[-1，1]时f′（x）≤0，从而函数f（x）在[-1，1]上单调递减，

所以f（x）_max=f（-1）=[2/3]，f（x）_min=f（1）=−

2

3，

所以f（x）_max-f（x）_min≤[4/3]，

从而对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有f（x₁）-f（x₂）≤

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；奇函数；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 该题考查函数的求导，考查函数两最值之差最大，考查函数的奇偶性对应的函数奇此项的系数，属于简单题，但是函数两最值之差最大可能会想不到．