Question

计算4阶行列式 a^2+1/a^2 a 1/a 1 b^2+1/b^2 b 1/b 1 c^2+1/c^2 c 1/c

Answer 1

将D按第一列分拆

D = D1 + D2

a^2 a a^-1 1 a^-2 a a^-1 1

b^2 b b^-1 1 + b^-2 b b^-1 1

c^2 c c^-1 1 c^-2 c c^-1 1

d^2 d d^-1 1 d^-2 d d^-1 1

第一个行列式D1的第1,2,3,4各行分别乘a,b,c,d,因为 abcd=1,所以

D1 =

a^3 a^2 1 a

b^3 b^2 1 b

c^3 c^2 1 c

d^3 d^2 1 d

交换列(奇数次)

= -

1 a a^2 a^3

1 b b^2 b^3

1 c c^2 c^3

1 d d^2 d^3

第二个行列式D2的第1,2,3,4各行分别乘a^2,b^2,c^2,d^2,因为 abcd=1,所以

D2 =

1 a^3 a a^2

1 b^3 b b^2

1 c^3 c c^2

1 d^3 d d^2

交换列(偶数次)

=

1 a a^2 a^3

1 b b^2 b^3

1 c c^2 c^3

1 d d^2 d^3

所以 D = D1+D2 = 0.