如图,以△ABC的三边为边在BC边的同侧作等边三角形△DBA,△EBC,△FAC(1)试说明四边形AFED是平行四边形

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  • 证明:

    ①∵△DBA和△EBC都是等边三角形

    ∴DB=AB,EB=CB,∠DBA=∠EBC=60°

    ∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA

    即∠DBE=∠ABC

    ∴△DBE≌△ABC(SAS)

    ∴DE=AC

    ∵AC=AF

    ∴AE=AF

    同理:

    ∵△EBC和△FAC都是等边三角形

    ∴BC=EC,AC=FC,∠BCE=∠ACF=60°

    ∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE

    即∠BCA=∠ECF

    ∴△BCA≌△ECF(SAS)

    ∴AB=EF

    ∵AD=AB

    ∴AD=EF

    ∴四边形AFED是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)

    ②四边形AFED是平行四边形,若为矩形,则∠DAF=90°

    ∵∠DAB=∠CAF=60°

    ∴∠BAC=360°-∠DAB-∠DAF-∠CAF=360°-60°-90°-60°=150°

    即当∠BAC=150°时,四边形AFED为矩形

    ③∵AB=AD,AF=AC

    若四边形AFED为正方形,则AD=AF

    ∴AB=AC

    ∴当△ABC为等腰三角形,且∠BAC=150°时,四边形AFED为正方形

    ④当△ABC为等边三角形时,点A与点E重合,四边形AFED不存在