证明：
①∵△DBA和△EBC都是等边三角形
∴DB=AB,EB=CB,∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA
即∠DBE=∠ABC
∴△DBE≌△ABC（SAS）
∴DE=AC
∵AC=AF
∴AE=AF
同理：
∵△EBC和△FAC都是等边三角形
∴BC=EC,AC=FC,∠BCE=∠ACF=60°
∴∠BCE-∠ACE=∠ACF-∠ACE
即∠BCA=∠ECF
∴△BCA≌△ECF（SAS）
∴AB=EF
∵AD=AB
∴AD=EF
∴四边形AFED是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
②四边形AFED是平行四边形,若为矩形,则∠DAF=90°
∵∠DAB=∠CAF=60°
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠DAF-∠CAF=360°-60°-90°-60°=150°
即当∠BAC=150°时,四边形AFED为矩形
③∵AB=AD,AF=AC
若四边形AFED为正方形,则AD=AF
∴AB=AC
∴当△ABC为等腰三角形,且∠BAC=150°时,四边形AFED为正方形
④当△ABC为等边三角形时,点A与点E重合,四边形AFED不存在