Question

已知关于x的方程（k-3）x2+kx+1=0．

Answer 1

解题思路：（1）分类讨论：当k-3=0，即k=3，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当k-3≠0，即k≠3，计算判别式得到△=（k-2）²+8，利用（k-2）²≥0得到△＞0，则根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根，然后可判断不论k取何值，方程总有实数根；

（2）k=4时，方程化为x²+4x+1=0，根据根与系数的关系得d+m=-4，dm=1，再利用完全平方公式变形得到d²+m²=（d+m）²-2dm，然后利用整体代入的方法计算即可．

（1）证明：当k-3=0，即k=3，方程变形为3x+1=0，解得x=-[1/3]；

当k-3≠0，即k≠3，△=k²-4（k-3）=k²-4k+12=（k-2）²+8，由于（k-2）²≥0，则△＞0，所以方程有两个不相等的实数根，

所以不论k取何值，方程总有实数根；

（2）k=4时，方程化为x²+4x+1=0，

根据题意得d+m=-4，dm=1，

所以d²+m²=（d+m）²-2dm

=4²-2×1

=14．

点评：

本题考点： 根的判别式；一元一次方程的解；根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了根与系数的关系．