解题思路：（1）求出E的坐标，求出反比例函数的解析式，把x=4代入即可求出F的坐标；
（2）证△OCE≌△CBF，推出∠COE=∠BCF，求出∠ECF+∠CEO=90°即可；
（3）过M作MN⊥OC于N，证△CMO和△ECO相似，求出CM、OM，根据三角形的面积公式求出MN，根据勾股定理求出ON，得出M的坐标，根据勾股定理求出AM的值即可．
（1）∵正方形ABCO，B（4，4），E为BC中点，
∴OA=AB=BC=OC=4，CE=BE=2，F的横坐标是4，
∴E的坐标是（2，4），
把E的坐标代入y=[k/x]得：k=8，
∴y=[8/x]，
∵F在双曲线上，
∴把F的横坐标是4代入得：y=2，
∴F（4，2），
答：反比例函数的函数解析式是y=[8/x]，点F的坐标是（4，2）．
（2）线段OE与CF的位置关系是OE⊥CF，
理由是：∵E的坐标是（2，4），点F的坐标是（4，2），
∴AF=4-2=2=CE，
∵正方形OABC，
∴OC=BC，∠B=∠BCO=90°，
∵在△OCE和△CBF中
OC＝BC
∠B＝∠OCE
CE＝BF，
∴△OCE≌△CBF，
∴∠COE=∠BCF，
∵∠BCO=90°，
∴∠COE+∠CEO=90°，
∴∠BCF+∠CEO=90°，
∴∠CME=180°-90°=90°，
即OE⊥CF．
（3）证明：∵OC=4，CE=2，由勾股定理得：OE=2
5，
过M作MN⊥OC于N，
∵OE⊥CF，
∴∠CMO=∠OCE=90°，
∵∠COE=∠COE，
∴△CMO∽△ECO，
∴[OC/OE]=[CM/CE]=[OM/OC]，
即
4
2
5=[CM/2]=[OM/4]，
解得：CM=
4
5
5，OM=
8
5
5，
在△CMO中，由三角形的面积公式得：[1/2]×OC×MN=[1/2]×CM×OM，
即4MN=
4
5
5×
8
5
5，
解得：MN=[8/5]，
在△OMN中，由勾股定理得：ON=
OM2−MN2=[16/5]，
即M（[8/5]，[16/5]），
∵A（4，0），
∴由勾股定理得：AM=4=AO，
即AM=AO．
点评：
本题考点： 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，勾股定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度．