设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

4个回答

  • 解题思路:(1)令x=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)可构造一个关于f(0)的方程,解方程即可得到答案;

    (2)令y=-x,f(x+y)=f(x)+f(y),可得到f(-x)与f(x)的关系,结合函数奇偶性的定义即可得到结论;

    (3)由f(1)=1,我们根据f(x+y)=f(x)+f(y),易得f(2)=2,故可将f(2a)>f(a-1)+2转化为一个关于a的二次不等式,解不等式即可得到a的取值范围.

    (1)令y=x=0得

    f(0)=2f(0)

    ∴f(0)=0

    (2)令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)→f(-x)=-f(x)

    又函数的定义域为R

    ∴f(x)为奇函数

    (3)∵f(x+y)=f(x)+f(y)又f(1)=1

    ∴2=f(1)+f(1)=f(1+1)=f(2)

    ∴f(2a)>f(a-1)+2即为f(2a)>f(a-1)+f(2)

    又f(a-1)+f(2)=f(a-1+2)=f(a+1)

    ∴f(2a)>f(a+1)

    又函数f(x)是R上的增函数

    ∴2a>a+1得a>1

    ∴a的取值范围是{a|a>1}

    点评:

    本题考点: 函数奇偶性的判断;抽象函数及其应用.

    考点点评: 本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法,单调性的判断及单调性的应用,其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键.