解题思路：（Ⅰ）首先，x＞0
f
/
(x)＝2ax−2+
1
x
＝
2a
x
2
−2x+1
x
利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得
a＝
1
2
即可；
（Ⅱ）先由题意，2ax2-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得：
0＜a＜
1
2
，再设2ax2-2x+1=0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，利用导数研究函数f（x）的极值点，从而得出证明．
解 （Ⅰ）首先，x＞0f/(x)＝2ax−2+
1
x＝
2ax2−2x+1
x
f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax2-2x+1=0的△=0．由此可得a＝
1
2
（Ⅱ）由题意，2ax2-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：0＜a＜
1
2
设2ax2-2x+1=0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，
因为在区间（0，x1），（x2，+∞）上，f′（x）＞0，
而在区间（x1，x2）上，f′（x）＜0，故x2是f（x）的极小值点．
因f（x）在区间（x1，x2）上f（x）是减函数，如能证明f(
x1+x2
2)＜−
3
2，则更有f(x2)＜−
3
2
由韦达定理，
x1+x2
2＝
1
2a，f(
1
2a)＝a(
1
2a)2−2(
1
2a)+ln
1
2a＝ln
1
2a−
3
2•
1
2a
令[1/2a＝t，其中设g(t)＝lnt−
3
2t+
3
2]，
利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt-[3/2] t+[3/2]＜0，
因此f（[1/2a]）＜-[3/2]，
从而有f（x）的极小值f（x2）＜-[3/2]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 解决本题时要注意题目中所应用的函数的思想，要使的函数无极值点，表明该零点左右f′（x）同号即可，这种思想经常用到．