解题思路：（1）由“一阶比增函数”的意义知只需说明y=
f(x)/x]在（0，+∞）上是单调增函数．求导可得结论；
（2）由（1）知y=
f(x)
x
在（0，+∞）上是单调增函数．当x1＞0，x2＞0时，
f(
x
1
+
x
2
)
x
1
+
x
2
＞
f(
x
1
)
x
1
，
f(
x
1
+
x
2
)
x
1
+
x
2
＞
f(
x
2
)
x
2
．变形后两式相加可得结论；
（3）由（2）知，n≥2时，可得f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…+xn）（n≥2）恒成立．构造f（x）=xlnx，知xf′（x）-f（x）=x（lnx+1）-xlnx=x＞0符合条件，则当xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+x3+…+xn）ln（x1+x2+x3+…+xn）（n≥2）（*）恒成立．令
x
n
＝
1
(n+1
)
2
，记Sn=x1+x2+…+xn=[1
2
2
+
1
3
2
+…+
1
(n+1
)
2
，
利用放缩法可得
1/2
−
1
n+2
＜S
n
＜1−
1
n+1]，则（x1+x2+x3+…+xn）ln（x1+x2+x3+…+xn）＜（x1+x2+x3+…+xn）ln（1-[1/n+1]）＜-[1/n+1]（x1+x2+x3+…+xn）（∵ln（1+x）＜x），＜-[1/n+1]（[1/2
−
1
n+2]）=-
n
2(n+1)(n+2)
（**），再由（**）及（*）可得结论．
证明：（1）由y=
f(x)/x]，对y求导知y′=
f′(x)•x−f(x)
x2，
由xf′（x）＞f（x）可知：y′＞0在（0，+∞）上恒成立．
从而y=
f(x)
x在（0，+∞）上是单调增函数．
∴f（x）为区间（0，+∞）上的“一阶比增函数”．
（2）由（1）知y=
f(x)
x在（0，+∞）上是单调增函数．
当x1＞0，x2＞0时，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x1)
x1，
f(x1+x2)
x1+x2＞
f(x2)
x2．
于是f（x1）＜
x1
x1+x2f（x1+x2），f（x2）＜
x2
x1+x2f(x1+x2)，
两式相加得到：f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）．
（3）由（2）可知：y＝
f(x)
x在（0，+∞）上是单调递增函数，
f（x1）+f（x2）＜f（x1+x2）（x1，＞0，x2＞0）恒成立，
则当n≥2时，f（x1+x2+x3+…+xn）=f[x1+（x2+x3+…+xn）]＞f（x1）+f（x2+x3+…+xn）
=f（x1）+f[x2+（x3+…+xn）]＞f（x1）+f（x2）+f（x3+…+xn）
=…＞f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）恒成立．即f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（xn）＜f（x1+x2+x3+…+xn）（n≥2）恒成立．
构造f（x）=xlnx，知xf′（x）-f（x）=x（lnx+1）-xlnx=x＞0符合条件，
则当xi＞0（i=1，2，3，…，n）时，
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜（x1+x2+x3+…+xn）ln（x1+x2+x3+…+xn）（n≥2）（*）恒成立．
令xn＝
1
(n+1)2，记Sn=x1+x2+…+xn=[1
22+
1
32+…+
1
(n+1)2，
则Sn＜
1/1•2+
1
2•3+…+
1
n(n+1)]=1-[1/2+
1
2−
1
3]+…+
1
n−
1
n+1=1-[1/n+1]，
Sn＞
1
2•3+
1
3•4+…+
1
(n+1)(n+2)=[1/2−
1
3+
1
3−
1
4]+…+
1
n+1−
1
n+2=[1/2−
1
n+2]，
∴（x1+x2+x3+…+xn）ln（x1+x2+x3+…+xn）＜（x1+x2+x3+…+xn）ln（1-[1/n+1]）
＜-[1/n+1]（x1+x2+x3+…+xn）（∵ln（1+x）＜x），
＜-[1/n+1]（[1/2−
1
n+2]）=-[n
2(n+1)(n+2)（**），
由（**）及（*）可知：
1
22ln
1
22+
1
32ln
1
32+…+
1
(n+1)2ln
1
(n+1)2＜-
n
2(n+1)(n+2)，
于是
1
22ln22+
1
32ln32+
1
42ln42+…+
1
(n+1)2ln(n+1)2＞
n
2(n+1)(n+2)，
1
22ln2+
1
32ln3+…+
1
(n+1)2ln(n+1)＞
n
4(n+1)(n+2)(n∈N*)
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、最值及不等式的证明，考查学生的推理论证能力、运算求解能力，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，该题综合性强，运算量大，能力要求高．
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