Question

1.若a的模等于1,b的模等于2,c向量等于a向量加b向量.且c向量垂直于a向量,则向量a与向量b的夹角为几度?

Answer 1

1.由条件,ac=0,c=a+b,|a|=1,|b|=2.

那么(c-a)^2=b^2,c^2-2ca+a^2=b^2.由此得到|c|^2=3.

而c^2=(a+b)^2,c^2=a^2+b^2+2ab.由此得到ab=-1.

因此cosx=ab/(|a||b|)＝-0.5.（x表示ab夹角）故x=120度.

2.(√2)a√(1+b^2)=√[2a^2(1+b^2)]≤[2a^2+(1+b^2)]/2=1.5

因此a√(1+b^2)≤1.5/√2=(3√2)/4.当且仅当a=√3/2,b=√2/2时等号取到.因此a√(1+b^2)最大为(3√2)/4.

注：由正数x,y满足√(xy)≤(x+y)/2,在本题中取x=2a^2,y=1+b^2.