解题思路：由题设条件分2种情况讨论，①，q=1时，
lim
n→∞
S
n
S
n+1
=
lim
n→∞
n
n+1
=1，成立；②，q≠1时，
lim
n→∞
a
1
(1−
q
n
)
1−q
a
1
(1−
q
n+1
)
1−q
=
lim
n→∞
1−
q
n
1−
q
n+1
=1，解可得q的范围，综合可得答案．
∵正项无穷等比数列an的前n项和为Sn，且
lim
n→∞
Sn
Sn+1＝1，
分情况讨论：
①，q=1时，
lim
n→∞
Sn
Sn+1=
lim
n→∞
n
n+1=1，
②，q≠1时，
lim
n→∞
a1(1−qn)
1−q
a1(1−qn+1)
1−q=
lim
n→∞
1−qn
1−qn+1=1，
∴0＜q＜1．
综合可得0＜q≤1，
故答案为：（0，1]．
点评：
本题考点： 数列的极限；等比数列的性质．
考点点评： 本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．