Question

已知数列{an}中，首项a1=1，Sn是其前n项的和，并且满足Sn=n2an（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．

（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有a_k=

2

k(k+1)

，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n

∴an+1＝

n

n+2an

∴a2＝

1

3，a3＝

1

6，a4＝

1

10，a5＝

1

15，

（2）猜测 an＝

2

n(n+1)；下面用数学归纳法证

①当n=1时，结论显然成立．

②假设当n=k时结论成立，即a_k=[2

k(k+1)

则当n=k+1时，ak+1＝

k/k+2ak＝

k

k+2×

2

k(k+1)＝

2

(k+1)(k+2)]

故当n=k+1时结论也成立．

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有a_n=

2

n(n+1)．

点评：

本题考点： 数学归纳法；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列递推式、数学归纳法，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第（2）问要注意数学归纳法的证明技巧．数学归纳法的基本形式设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立．