Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+2a2+3a3+…+nan=（n-1）Sn+2n （n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）利用a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n，对n分别赋值，即可求a₂，a₃的值；

（2）再写一式，两式相减，化简即可得到结论．

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），

∴当n=1时，a₁=2×1=2；（2分）

当n=2时，a₁+2a₂=（a₁+a₂）+4，∴a₂=4；（5分）

当n=3时，a₁+2a₂+3a₃=2（a₁+a₂+a₃）+6，∴a₃=8．（8分）

（2）证明：∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①

∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②（9分）

①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2

∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2

∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．（11分）

∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，

∴S_n+2=2（S_n-1+2）．（13分）

∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，∴[Sn+2/Sn−1+2]=2，（14分）

故{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（15分）

点评：

本题考点： 等比关系的确定；数列的函数特性．

考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．