线性变换是线性代数研究的一个对象,向量空间到自身的保运算的映射.例如,对任意线性空间V,位似σk：aka是V的线性变换,平移则不是V的线性变换,若a1,…,an是V的基,σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1,2,…,n）,则称为σ关于基｛a：｝的矩阵.对线性变换的讨论可藉助矩阵实现.σ关于不同基的矩阵是相似的.Kerσ＝｛a∈V｜σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核,Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象,是刻画σ的两个重要概念.
对于欧几里得空间,若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵,则称σ为正交（对称）变换.正交变换具有保内积、保长、保角等性质,对称变换具有性质：〈σ(a),β〉＝〈a,σ（β）〉.