Question

（1）已知abc属于正实数,求证（a^2+a+1）（b^2+b+1）（c^2+c+1）＞=27abc

Answer 1

(1)证明:

(a-1)^2=a^2-2a+1>=0 所以a^2+1>=2a a^2+a+1>=3a

b^2+b+1>=3b

c^2+c+1>=3c

三个正的同向不等式相乘就可知（a^2+a+1）（b^2+b+1）（c^2+c+1）＞=27abc

(2)证明:

abc属于正实数,

由均值不等式知b^2／a +a>=2b (a=b时取等号)

c^2／b + b>=2c (c=b时取等号)

a^2／c +c＞=2a (a=c时取等号)

三式相加有

b^2／a+c^2／b+a^2／c+a+b+c>=2(a+b+c) (当a=b=c时等号成立)

所以b^2／a+c^2／b+a^2／c＞=a+b+c.(当a=b=c时等号成立)