证明当x>0时,1+x㏑(x+√1+x²)>√1+x²

1个回答

  • 证明:

    设f(x)=xln [x+√(1+x^2)]-√(1+x^2) +1

    定义域为实数范围R,题目条件为x>0

    求导:

    f'(x)=ln [x+√(1+x^2) ]+ x*[1+x/√(1+x^2)] / [x+√(1+x^2)] -x/√(1+x^2)

    =ln [x+√(1+x^2)] +x / √(1+x^2) -x / √(1+x^2)

    =ln [x+√(1+x^2)]

    因为:x>0,1+x^2>1

    所以:√(1+x^2)>1,x+√(1+x^2)>1

    所以:ln [x+√(1+x^2)]>0

    所以:f'(x)= ln [x+√(1+x^2)]>0在x>0时恒成立

    所以:f(x)是单调递增函数

    所以:f(x)>f(0)=0-1+1=0

    所以:f(x)=xln [x+√(1+x^2)]-√(1+x^2) +1>0

    所以:1+xln [x+√(1+x^2)] > √(1+x^2) ,x>0