已知二次函数f(x)=ax^2+bx(ab∈R,a≠0)满足f(-x+5)=f(x-3)且方程f(x)=x有等根.求f(

2个回答

  • (1)

    f(-x+5)=f(x-3)

    a(x-5)^2+b(5-x)=a(x-3)^2+b(x-3)

    a[(x-5)^2-(x-3)^2]+b[(5-x)-(x-3)]=0

    a(x-5+x-3)(x-5-x+3)+b(8-2x)=0

    2a(8-2x)+b(8-2x)=0

    (2a+b)(8-2x)=0

    x在定义域上任意取值,则只有2a+b=0 b=-2a

    方程f(x)=x

    ax^2-2ax=x

    ax^2-(2a+1)x=0

    x[ax-(2a+1)]=0

    x=0或x=(2a+1)/a

    两根相等

    (2a+1)/a=0 a=-1/2 b=1

    f(x)的解析式为f(x)=-x^2/2+x

    (2)

    f(x)=-x^2/2+x=(-1/2)(x-1)^2+1/2

    函数对称轴为x=1

    n≤1时,函数单调递增.

    令f(m)=3m

    3m=-m^2/2+m,整理,得m(m+4)=0 m=-4或m=0

    f(n)=3n

    n(n+4)=0 n=0或n=-4

    m=-4,n=0满足题意.

    m>1时,函数单调递减

    令f(m)=3n f(n)=3m

    3n=-m^2/2+m

    3m=-n^2/2+n

    6(n-m)=(n+m)(n-m)-(n-m)

    整理,得

    (n-m)(n+m-7)=0

    n+m-7=0 n=7-m>1 1