Question

矩阵A的平方等于单位矩阵,求证r(I+A)+r(I-A)=n

Answer 1

用E表示单位阵

由A^2=E,E-A^2=0,因此(E-A)(E+A)=0

因此(E+A)的列向量为方程(E-A)X=0的解向量,设r(E-A)=k,则(E-A)X=0的解空间为n-k维,

因此r(E+A)≤n-k,得：r(E-A)+r(E+A)≤n

又(E+A)+(E-A)=2E

则r(E+A)+r(E-A)≥r(2E)=n 矩阵秩的性质：r(A)+r(B)≥r(A+B)

综上,r(E+A)+r(E-A)=n