Question

（2011•温州一模）已知函数f（x）=lnx，若存在g（x）使得g（x）≤f（x）恒成立，则称g（x）是f（x）的一个

Answer 1

（Ⅰ）[t/x]-lnx≤lnx恒成立，

∵x＞0，t≤2xlnx

令h（x）=2xlnx，则h′（x）=2（1+lnx）

当x∈(0，

1

e)时，h′（x）＜0，h（x）在(0，

1

e)上是减函数，

当x∈(

1

e，+∞)，h′（x）＞0，h（x）在上(

1

e，+∞)是增函数，

∴函数的最小值是-[2/e]，

∴t≤-[2/e]，

（Ⅱ）由（I）知，2xlnx≥-[2/e]，

∴lnx≥-[1/ex]

F（x）=f（x）-[1

ex+

2/ex]①，

∴F（x）≥

1

ex−

1

ex=[1/x(

1

e−

x

ex)

令G（x）=

1

e−

x

ex]，则G′（x）=e^-x（x-1）

则x∈（0，1）时，G（x）是减函数，

x∈（1，+∞）时，G（x）是增函数，

∴G（x）≥G（1）=0②，

∴F（x）=f（x）-[1

ex+

2/ex]≥

1

x(

1

e−

x

ex)≥0，

∵①②中等号取到的条件不同，

∴F（x）＞0，即函数F（x）不存在零点．