(2010•南通)如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合)

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  • 解题思路:(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;

    (2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;

    (3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.

    (1)∵EF⊥DE,

    ∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE,

    又∠B=∠C=90°,

    ∴△BEF∽△CDE,

    ∴[BF/CE]=[BE/DC],即[y/x]=[8−x/m],解得y=

    8x−x2

    m;

    (2)由(1)得y=

    8x−x2

    m,

    将m=8代入,得y=-[1/8]x2+x=-[1/8](x2-8x)=-[1/8](x-4)2+2,

    所以当x=4时,y取得最大值为2;

    (3)∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,

    ∴△BEF≌△CDE,

    ∴BE=CD=m,

    此时m=8-x,解方程[12/m]=

    8x−x2

    m,得x=6,或x=2,

    当x=2时,m=6,

    当x=6时,m=2.

    点评:

    本题考点: 二次函数的最值;等腰三角形的判定;勾股定理;矩形的性质.

    考点点评: 本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来,在解题过程中,充分运用相似三角形对应边的比相等,建立函数关系式.