Question

已知点P是抛物线y=[1/4x2+1上的任意一点，设点P到x轴的距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2，过点P的直

Answer 1

解题思路：（1）本题可设出P点坐标，然后根据抛物线的解析式表示出d₁，根据两点间的距离公式表示出d₂，然后进行证明即可．

（2）本题要利用（1）的结论进行求解．过P、Q作x轴的垂线设垂足为P₁、Q₁．根据（1）的结论可以得出PP₁=PF，QF=QQ₁，如果过M作x轴的垂线MC，那么MC就是梯形PP₁Q₁Q的中位线，即MC=[1/2]（PP₁+QQ₁），如果MC最短，那么PP₁+QQ₁就需最短，而PP₁=PF，QQ₁=QF，因此PF+QF就必须最短，根据两点间线段最短可知当P、F、Q共线时，MC就最短，因此MC=[5/2]．

（1）猜想d₁=d₂．

证明如下：

设P（x₁，y₁）是抛物线上任一点

∴d₁=y₁=

x12

4]+1

而d₂=PF=

x12+(y1−2)2=

4y1−4+(y1−2)2=y₁

∴d₁=d₂．

（2）过M作MC垂直x轴，垂足为C，易得MC=[1/2]（PP₁+QQ₁）

由（1）证PP₁=PF，QQ₁=QF

∴MC=[1/2]（PP₁+QQ₁），

即要求PF+QF最小值

而PF+QF≥PQ，

故当P、F、Q三点共线时，PF+QF最小，且等于PQ．

所以MC最小值为[5/2]，

即M到x轴最短距离为[5/2]．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了二次函数的应用、函数图象交点、中位线定理等知识点．