解题思路：本填空题采用取特殊位置的方法求解，设点A是椭圆短轴的上端点，设B（x1，y1），C（x2，y2）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F1的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x1+x2和y1+y2，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得，从而得出B，C的坐标，最后利用两点间的距离公式即可求得．
设点A是椭圆短轴的上端点，B（x1，y1），C（x2，y2）．
椭圆方程得
x2
4+
y2
3＝1
∴b=
3 a=2
∴c=1，则A（0，
3 ） F（1，0）
∴
0+x1+x2
3=1，x1+x2=3
同理y1+y2=-
3
又3（x1+x2）+4（y1+y2）×k=0
∴k=
3
3
4，k为BC斜率
令BC直线为：y=
3
3
4x+m
则：y1+y2=
3
3
4（x1+x2）+2m
b=-
13
3
8
∴BC直线为：y=
3
3
4x-
13
3
8代入椭圆的方程求得B（2，-[1/5]），C（1，-[3/2]）．
利用两点是的距离公式得：则|AF|+|BF|+|CF|=[9/2]．
故答案为：[9/2]．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．