Question

（2012•江西模拟）设函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，对于任意正数x，y都有f（x，y）=f（x）+f

Answer 1

解题思路：（1）令x=y=1，求得f（1）=0，再令x=2，y=[1/2]，即可求

f(

1

2

)

的值；

（2）根据f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[[1/2]a_n（a_n+1）]，函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a_n}各项为正数，可得S_n=[1/2]a_n（a_n+1），再写一式，即可求得数列{a_n}的通项公式．

（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0

令x=2，y=[1/2]，则f（1）=f（2×[1/2]）=f（2）+f（[1/2]）

∵f（2）=1

∴f(

1

2)=-1

（2）∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1=f[[1/2]a_n（a_n+1）]

∵函数f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a_n}各项为正数

∴S_n=[1/2]a_n（a_n+1）①

当n=1时，可得a₁=1；

当n≥2时，S_n-1=[1/2]a_n-1（a_n-1+1）②

①-②可得a_n=[1/2]a_n（a_n+1）-=[1/2]a_n-1（a_n-1+1）

∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0

∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0

即a_n-a_n-1=1

∴数列{a_n}为等差数列，a₁=1，d=1；

∴a_n=1+（n-1）×1=n

即a_n=n

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；函数单调性的性质；抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查数列与函数的关系，考查赋值法的运用，考查数列的通项，属于中档题．