（1）证明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC。
∴△AHF∽△ADC，∴
。
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴
.
∴
。
（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1。
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴
。
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴
。
∴
，即
，∴EH=4HF。
已知EF=x，则EH=
。
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣
。
，
∴当x=
时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5。
（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为
，宽为
。
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，
设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H 1，D 1，此时DD 1=t，H 1D 1=2，
∴HD 1=HD﹣DD 1=2﹣t，HH 1=H 1D 1﹣HD 1=t，AH 1=AH﹣HH 1=2﹣t。
∵KN∥EF，∴
，即
。
解得
。
。
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，
设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D 2．此时DD 2=t，AD 2=AD﹣DD 2=4﹣t。
∵KN∥EF，∴
，即
。
解得
。
。
综上所述，S与t的函数关系式为：
。
（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明。
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积。
（3）本问是运动型问题，弄清矩形EFPQ的运动过程：
当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形。