Question

已知定义域为R的函数f（x）=−2x+b2x+1+a是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）直接根据函数是奇函数，满足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到关于a，b的两个等式，解方程组求出a，b的值．

（2）利用减函数的定义即可证明．

（3））f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，等价于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x），即k＜

1−2x

x

2

成立，设g（x）=

1−2x

x

2

，

换元使之成为二次函数，再求最小值．

（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒[−1+b/2+a]=0，解得b=1，

f（x）=

−2x+1

2x+1+a，又由f（1）=-f（-1）⇒[−2+1/4+a＝

−

1

2+1

1+a]，解得a=2．

（2）证明：由（1）可得：f（x）=

−2x+1

2x+1+2=[1

2x+1−

1/2]．

∀x₁＜x₂，∴2x2＞2x1＞0，

则f（x₁）-f（x₂）=[1

2x1+1−

1

2x2+1=

2x2−2x1

(2x1+1)(2x2+1)＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂）．

∴f（x）在R上是减函数．

（3）∵函数f（x）是奇函数．

∴f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，等价于f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x）成立，

∵f（x）在R上是减函数，∴kx²＜1-2x，

∴对于任意x∈[

1/2，3]都有kx²＜1-2x成立，

∴对于任意x∈[

1

2，3]都有k＜

1−2x

x2]，

设g（x）=[1−2x

x2，

∴g（x）=

1−2x

x2=(

1/x)2−2(

1

x)，

令t=

1

x]，t∈[[1/3]，2]，

则有g(t)＝t2−2t，t∈[

1

3，2]，∴g（x）_min=g（t）_min=g（1）=-1

∴k＜-1，即k的取值范围为（-∞，-1）

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题主要考查了奇函数的性质，以及应用性质求参数的值，属于函数性质的应用．解决第二问的关键在于先得到函数的单调性．