Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F．

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOF=∠BOE=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠FGB=90°，

∴∠OBE+∠BFG=90°，∠FAO+∠AFO=90°，

∵∠AFO=∠BFG，

∴∠FAO=∠EBO，

∵在△AFO和△BEO中

∠FAO＝∠EBO

OA＝OB

∠AOF＝∠BOE

∴△AFO≌△BEO（ASA），

∴OE=OF．

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，

∵EH⊥BE，

∴∠AEH+∠AEB=90°，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠CBE=∠AEH，

∵AE=AB=BC，

∵在△BCE和△EAH中

∠HAE＝∠ECB

AE＝BC

∠AEH＝∠CBE

∴△BCE≌△EAH（ASA），

∴CE=AH，

∵AB=BC=1，

∴AC=

2，

∵AE=AB=1，

∴AH=CE=AC-AE=

2-1．