[[[1]]]
∵P(a,b),Q(c,d),O(0,0).
∴由题设及三角形面积的行列式计算公式可得:
2S=|ad-bc|=√6
两边平方可得
a²d²-2abcd+b²c²=6
∴a²d²+b²c²=6+2abcd
[[[2]]]
椭圆方程为:2x²+3y²=6
∵两点P(a,b),Q(c,d)均在该椭圆上,
∴可得:
2a²+3b²=6且2c²+3d²=6
两式相乘,可得
4a²c²+6a²d²+6b²c²+9b²d²=36
∴把上面[[[1]]]中的结果代入,可得
4a²c²+12abcd+9b²d²=0
∴(2ac+3bd)²=0
∴2ac+3bd=0
∴3bd=-2ac或2ac=-3bd
由上面可知
2a²=6-3b²,且2c²=6-3d²
两式相乘,可得
(2ac)²=(6-3b²)(6-3d²)
∴(-3bd)²=(6-3b²)(6-3d²)
展开,整理可得
9b²d²=36-18(b²+d²)+9b²d²
∴b²+d²=2(定值)
同理可证:a²+c²=3(定值)
[[[3]]]
由中点坐标公式可知
M((a+c)/2,(b+d)/2)
∴向量OM=((a+c)/2,(b+d)/2)
又向量PQ=(c-a,d-b)
∴OM×PQ
=[(c²-a²)+(d²-b²)]/2 (结合a²+c²=3,b²+d²=2可得)
=[(2c²-3)+(2d²-2)]/2
=[2c²+2d²-5]/2
=[(6-3d²)+2d²-5]/2 (结合上面的2c²+3d²=6可得)
=[1-d²]/2≤1/2.(等号仅当d=0时取得)
∴[OM×PQ]max=1/2