(2012•烟台三模)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且当x∈[-1,0]时,f(x)=x

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  • 解题思路:根据条件可得f(x)是周期函数,T=2,且是偶函数,令y=0,则f(x)=|lgx|,在同一坐标系中作y=f(x)和y=lgx图象,由图象可得结论.

    由题意g(x)=f(x)-|lgx|=

    g(x)=f(x)−lgx,lgx≥0

    g(x)=f(x)+lgx,lgx<0

    ∵f(1+x)=f(1-x),故f(x)的图象关于x=1对称,

    又函数f(x)是R上的偶函数,∴f(x+2)=f(-x)=f(x),∴f(x)是周期函数,T=2,

    令y=0,则f(x)=lgx,在同一坐标系中作y=f(x)和y=lgx图象,如图所示:

    故函数y=f(x)-lgx的零点有9个,

    当lgx<0时,函数y=f(x)+lgx的零点有1个,

    故函数g(x)=f(x)-|lgx|的零点个数为10

    故选D.

    点评:

    本题考点: 根的存在性及根的个数判断;奇偶性与单调性的综合.

    考点点评: 本题考查函数零点的定义,体现了数形结合的数学思想,在同一坐标系中作y=f(x)和y=lgx图象,是解题的关键.