Question

将一个一元二次方程的一次项系数与常数项交换后新方程的一个根为原方程的一个根的两倍,另一个根与原方程相等,求出这样一个方程

Answer 1

原方程ax^2+bx+c=0,根为x1,x2,有x1+x2=-b/a,x1x2=c/a

新方程ax^2+cx+b=0,根为2x1,x2,有2x1+x2=-c/a,2x1x2=b/a

故x1x1=c/a=b/(2a),得：b=2c

故有x1+x2=-2c/a

2x1+x2=-c/a

两式相减得：x1=c/a,x2=-3c/a

x1x2=-3(c/a)^2=c/a

得：c=-a/3,故b=2c=-2a/3

因此原方程为：ax^2-2ax/3-a/3=0

取a=3,可得：3x^2-2x-1=0