an+1 + bn+1 -an-bn=(an+1 -an)+ (bn+1 -bn)=d+b(b为数列bn的公差） 为一定值,所以｛an±bn｝也是等差数列
kan+1 +b-(kan +b)=kan+1 -kan=k(an+1-an)=kd 为一个定值 所以｛kan+b｝也是等差数列
因为an是等差数列,所以在an中所抽取的a1,a4,a7,a10.也能构成一个等差数列,且公共差为3d,同理抽取a2,a5,a8...;a3,a6,a8.都能分别构成公差为3d的等差数列,根据上面所证明的,若an,bn,均为等差数列则其相加也为等差数列,可以知道,这三个等差数列相加一定为等差数列.
a(m+n)=am+(m+n-m)d=an+(m+n-n)d 所以就有等式am+nd=an+md 代入得n+nd=m+md,因为m,n不相等,所以解出d=-1,所以am+n=am+(m+n-m)*(-1)=n-n=0