解题思路：（1）由Q的运动速度可求出t时间内Q运动的路程，进而求出AQ的长，再根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可求出QD的长度；
（2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=[1/2]AC=8cm，依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，当S△APQ=[1/2]S△ABC时，即[1/2]AP×DQ=[1/2]×AB×CE，进而求出符合题意的t值；
（3）当以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）时，则△APQ∽△ABC或△APQ∽△ACB，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出符合题意的t值．
（1）∵点Q从点C出发，沿CA边以2cm/秒的速度向点A移动，
∴t时的运动路程为2t，
∴CQ=2tcm，
∴AQ=AC-CQ=（16-2t）cm，
∵∠A=30°，QD⊥AB，垂足为D，
∴QD=[1/2]AQ=（8-t）cm；
（2）连接PQ，过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE=[1/2]AC=8cm，
依题意得：BP=4tcm，AP=（24-4t）cm，
当S△APQ=[1/2]S△ABC时，
[1/2]AP×DQ=[1/2]×AB×CE，
[1/2]（24-t）（8-t）=[1/2]×[1/2]×24×8，
整理得，t2-14t+24=0，
解得：t1=2，t2=12，（不合题意，舍去），
即当t=2时，△APQ的面积是△ABC面积的一半；
（3）当△APQ∽△ABC时，则有[AQ/AC＝
AP
AB]
即：[16−2t/16＝
24−4t
24]，
解得：t=0（不合题意，舍去）；
当△APQ∽△ACB时，则有[AQ/AB＝
AP
AC]，
即：[16−2t/24＝
24−4t
16]，
解得t=5，
综上所述：t=5时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外）．
故答案为：（8-t）．
点评：
本题考点： 相似形综合题．
考点点评： 本题考查了和几何图形有关的运动问题、直角三角形的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的判定和性质以及分类讨论的数学思想的运用，题目很好的考查了学生综合解题的能力，题目难度中等．